Координатный метод. Аффинные преобразования на плоскости

   
На этом шаге мы рассмотрим аффинные преобразования на плоскости.

   
Зададим некоторую двумерную систему координат (х, у). Аффинное преобразование координат (х, у) описывается формулами

  X = Ах + By + С,
  Y = Dx + Ey + F,

где А, В, ..., F - константы. Значения (X, Y) можно трактовать как координаты в новой системе координат.

   
Обратное преобразование (X, Y) в (х, у) также является аффинным:

  х = А'Х'+ B'Y+ С', 
  у = D'X + Е'Y + F'.

   
Аффинное преобразование удобно записывать в матричном виде. Константы А, В, ...., F образовывают матрицу преобразования, которая,
будучи умноженная на матрицу-столбец координат (х, у), дает матрицу-столбец (X, Y). Однако для того, чтобы учесть константы
С и F, необходимо перейти к так называемым однородным координатам - добавим строку с единицами в матрицах координат:


   
Матричная запись дает возможность наглядно описывать несколько преобразований, которые идут одно за другим. Например, если необходимо сначала выполнить преобразования:


а потом - другое преобразование:


то это можно описать как:

   
Однако вместо двух преобразований можно выполнить только одно:


где матрица (С) равна произведению (В)(А).

   
Перемножение матриц выполняется так, как это принято в линейной алгебре.

   
Рассмотрим частные случаи аффинного преобразования.

   
1. Параллельный сдвиг координат (рисунок 1).

   
В матричной форме:


Рис.1. Параллельный сдвиг координат

   
Обратное преобразование:

   
2. Растяжение-сжатие осей координат (рисунок 2).


Рис.2. Растяжение/сжатие осей координат

   
Обратное преобразование:

   
Коэффициенты kx и ky могут быть отрицательными. Например, kx = -1
соответствует зеркальному отражению относительно оси y.

   
3. Поворот (рисунок 3).


Рис.3. Поворот

   
Обратное преобразование соответствует повороту системы (X, Y) на угол (-λ).

   
Свойства аффинного преобразования.

  • Любое аффинное преобразование может быть представлено как последовательность операций из числа указанных простейших: сдвиг, растяжение/сжатие и поворот.
  • Сохраняются прямые линии, параллельность прямых, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, и отношение площадей фигур.

   
На следующем шаге мы рассмотрим аффинные преобразования в пространстве.



Вы можете оставить комментарий, или Трекбэк с вашего сайта.

Оставить комментарий