Координатный метод. Связь преобразований объектов с преобразованиями координат

   
На этом шаге мы рассмотрим примеры, иллюстрирующие такую связь.

   
Когда пользователь графической системы видит на экране перемещающийся объект, то, что же на самом деле происходит?

   
Преобразование объектов и преобразование систем координат тесно связаны между собой. Движение объектов можно рассматривать как движение в обратном направлении соответствующей системы координат.

   
Такая относительность для объектов отображения и систем координат дает разработчикам компьютерных систем дополнительные возможности для моделирования и визуализации пространственных объектов.
С каждым объектом можно связывать как собственную локальную систему координат, так и единую для нескольких объектов. Это можно использовать, например, для моделирования подвижных объектов.

   
Обычно, того же самого эффекта можно добиться, если использовать различные подходы. Однако в одних случаях удобнее использовать преобразование координат, а в других - преобразование объектов. Не последнюю
роль играет сложность обоснования какого-то способа, его понятность.

   
Рассмотрим пример комбинированного подхода. Пусть нужно получить функцию расчета координат (X,Y) для поворота вокруг центра с координатами (x0, y0) (рисунок 1).


Рис.1. Вращение вокруг произвольного центра

   
На предыдущих шагах был рассмотрен поворот относительно центра координат (0, 0). Для решения поставленной задачи введем новую систему координат (x',0', y') с центром в точке (x0, y0):

   
Для такой системы поворот точек происходит вокруг ее центра:

   
Преобразуем координаты (X', Y') в (X,Y) сдвигом системы координат в точку (0, 0):

   
Если объединить формулы преобразований, то получим результат:

   
Решение этой задачи можно было бы осуществить и в матричной форме:

   
Рассмотрим второй пример. Наше задачей будет вывод формул параметрического описания поверхности тора. Изобразим тор следующим образом (рисунок 2).


Рис.2. Тор

   
Для произвольной точки P, лежащей на поверхности тора, требуется выразить координаты (x,y,z) через константы, описывающие размеры фигуры, а также через некоторые параметры. Для поверхности в
трехмерном пространстве необходимо использовать два параметра. В качестве таковых выберем угловые величины: φ (широта) и ω (долгота).

   
Непосредственное определение координат точки P представляется сложным, поэтому искомые координаты будем искать несколькими шагами преобразований. Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости z0y,
центр этой окружности совпадает с центром координат. Координаты точки P'' с широтой φ составляют


где r - малый радиус тора.

   
Теперь перенесем окружность на расстояние R (большой радиус тора) по оси y в той же плоскости z0y. Получим точку P'. Ее координаты:

   
Окружность, которой принадлежит точка P', является геометрическим местом точек тора с нулевой долготой ω. Если точку P' повернуть на угол ω, то получим искомую точку P поверхности тора с координатами:

   
Подставляя значения (x', y', z'), получим искомые формулы:

   
Эту задачу можно было бы решить, используя преобразования координат. Подобный случай рассмотрим в следующих шагах. Однако, как представляется, более ясным здесь выглядит использование операций перемещения точки
(из положения P'' в P', а затем в P).

   
На следующем шаге мы рассмотрим проекции.



Вы можете оставить комментарий, или Трекбэк с вашего сайта.

Оставить комментарий