История появления
Парадокс Монти Холла представляет собой известную много лет задачу, которая затрагивает определенные аспекты человеческой психологии и теории вероятности. При этом правильное решение не так очевидно, как может показаться на первый взгляд, что и привело к росту популярности и бурным обсуждениям. В основе задачи лежат правила телевизионной игры Let’s Make a Deal, которая была популярна в 1960-х годах. Назван парадокс в честь Монти Холла, первого ведущего программы.
Сами регламент игры был достаточно простым. На начальном этапе перед игроком находится три двери. За двумя из них находятся козы, за третьей – автомобиль. Ведущий заранее знает, что находится за каждой дверью и старается повысить градус ситуации.
Игрок указывает на выбранную дверь, предполагая, что главный бонус находится там. На следующем шаге ведущий самостоятельно открывает одну из оставшихся дверей, за которой всегда находится коза, после чего игроку предлагается изменить первоначальное решение. На первый взгляд кажется, что ведущий просто хочет воспользоваться ситуацией и сбить с толку, менять первоначальный выбор просто бессмысленно. Фактически, ведущий как бы является оппонентом игрока, поэтому у него нет явных причин полностью доверять ведущему.
Однако если разобрать обе ситуации с математической точки зрения, то картина меняется. При первом выборе вероятность составляет 1/3 – всего три двери, выигрыш за одной из них. Когда ведущий открывает явно проигрышную дверь, то смена первоначального решения повышает шанс до 2/3. Для увеличения шанса на выигрыш необходимо согласиться на предложение и выбрать другую дверь. Реальность показывала, что многие игроки просто боялись менять решение и продолжали игру с первоначальной версией.
Чтобы лучше понять работу данного парадокса можно рассмотреть участие на большем масштабе, например, пользователь 300 раз примет участи в данной викторине. Если придерживаться строгой статистики, то первый выбор приводит сразу к победе в 100 случаях (1/3, возможную погрешность в данном случае не учитываем). Соответственно, в 2/3 случаях (200 ответов) главный приз будет потерян.
Теперь ключевые особенности при смене двери:
— в 100 случаях дверь была изначально выбрана правильно, смена двери приводит к поражению;
— в 200 случаях, при неправильно выбранной двери, изменение ответа приводит к победе.
Именно поэтому лучше изменить первоначальный выбор. С математической точки зрения шансы на победу выше. Для описания можно использовать следующую формулу:
P1 = P3*P2
Где P1 это вероятность выиграть при смене выбора, P3 условная часть, которая обозначает, что ведущий знает, что открывает дверь с козой (в качестве значения берется единица). P2 – расчетная вероятность того, что сделанный вначале выбор был некорректным. Подставляет нужные значения:
1*2/3 = 2/3
То есть формула явно доказывает, что изменение первоначальной стратегии увеличивает шансы на победу до 2/3 с первоначальных 1/3. Очевидно, что разница получается значительной.
Важно подчеркнуть, что это справедливо только для ситуации, когда ведущий изначально знает расположение приза и специально открывает проигрышный вариант. Если он будет в положении игрока и открывать случайную дверь, то преимуществ при изменении выбора не будет. То есть основная концепция игры будет потеряна.
Данный парадокс можно легко проверить на практике, смоделировав основные моменты в игре и подсчитав количество полученных призов. Изначально для чистоты эксперимента можно кидать кубик или написать простой скрипт на любом языке программирования. При достаточно большой выборке результат примерно совпадает.
Почему сложно поверить в парадокс Монти Холла
Бурное обсуждение вспыхнуло с новой силой в 1990 году после публикации Мерилин вос Савант (на тот момент имела самый высокий показатель IQ). В статье в очередной раз было обосновано утверждение, что изменение выбора увеличивает вероятность победы.
Реакция читателей была достаточно бурной, многие были уверены, что статься вводит в заблуждения. Писали самые разные люди – простые читатели, преподаватели, математики из разных стран. Дело в том, что Мэрилин в публикации не обозначила важный пункт – ведущий при открытии двери действует случайно или знает, что открывает неправильную дверь.
Мэрилин вынуждена была сделать новую публикацию с более подробным описанием условий задачи. Несмотря на полное математическое обоснование, многие читатели пытались обосновать, что решение не является верным. Это обусловлено тем, что парадокс идет вразрез с самой природой человеческого мышления.
Наш мозг изначально приспособлен для принятия быстрых решений. Это обеспечило выживание на протяжении миллионов лет эволюции. Однако он плохо приспособлен к ситуациям, когда кто-то сознательно манипулирует информацией. В контексте игровой ситуации игрок подсознательно воспринимает открытие двери как случайное событие, считая, что это не должно повлиять на первоначальное решение.
Использование парадокса в реальной жизни:
A/B-тестирование. Специалист тестирует три варианта размещения рекламных блоков. Вариант, который явно проваливается, исключается, а трафик перераспределяется между оставшимися двумя. Фактически, это «смена двери», позволяет получить более точные результаты.
Поиск ошибок в коде. Часто используется метод обработки трех гипотез. К примеру, проект на определенном этапе завершается с ошибкой. В этом случае можно заранее выдвинуть три возможные причины такого поведения, после чего проверять их последовательно. При этом обычно сразу одна версия является для разработчика приоритетной. Если после проверки она окажется некорректной, нужно просто выбрать другую приоритетную версию. Такой подход также позволяет повысить вероятность нахождение правильного ответа.
Рекомендательные системы. Оказалось, что такая схема позволяет незаметно манипулировать пользователями. К примеру, аналитики обнаружили интересную закономерность. Если пользователю сразу предложить выбрать один их трех фильмов, после чего посоветовать выбрать альтернативный вариант, до статистика досмотров заметно увеличится.