В компьютерной фирме работают 6 инженеров, 10 программистов и 8 специалистов по тестированию программного обеспечения. Для обсуждения вопроса о новогодних премиях было решено составить комиссию из 6 человек. Сколькими способами это можно сделать, если:
1) все группы сотрудников должны быть представлены в равной мере?
2) необходимо обеспечить участие в комиссии, по крайней мере, двух инженеров?
Решение:
1) Поскольку все группы сотрудников должны быть представлены в равной мере, необходимо включить в состав комиссии ровно по два человека от каждой группы. Обозначим событие «выбраны два инженера» через A1, событие «выбраны два программиста» — через A2, а событие «выбраны два специалиста по тестированию» — через A3.
Количество исходов события A1 равно числу (6, 2)-сочетаний без повторений, т. е. биномиальному коэффициенту C(6, 2). Событиям A2 и A3 отвечают (10, 2)-сочетания без повторений и (8, 2)-сочетания без повторений соответственно.
Для вычисления общего числа исходов последовательности событий A1, A2, A3 следует применить правило произведения:
C(6, 2)C(10, 2)C(8, 2) = 18900.
2) Введем в рассмотрение следующие события:
A1 — «выбраны два инженера и четыре сотрудника других специальностей»;
A2 — «выбраны три инженера и три сотрудника других специальностей»;
A3 — «выбраны четыре инженера и два сотрудника других специальностей»;
A4 — «выбраны пять инженеров и один сотрудник другой специальности»;
A5 — «все шесть выбранных сотрудников — инженеры».
Легко видеть, что события A1–A5 образуют все возможные способы выбора шести сотрудников таким образом, что будут приглашены, по крайней мере, два инженера. Согласно правилу суммы получаем окончательный ответ:
C(6, 2)C(18, 4) + C(6, 3)C(18, 3) + C(6, 4)C(18, 2) + C(6, 5)C(18, 1) + C(6, 6) = 64624.
Заметим, что можно использовать другой путь решения и рассмотреть, например, следующие события:
B — «выбраны шесть сотрудников»;
B1 — «выбраны шесть сотрудников среди программистов или специалистов по тестированию»,
B2 — «выбран один инженер и пять сотрудников других специальностей».
В таком случае ответ можно представить в более компактном эквивалентном виде:
C(24, 6) − (C(18, 6) + C(6, 1)C(18, 5)).
2 задача
В компьютерной фирме работают 5 инженеров, 8 программистов и 7 специалистов по тестированию программного обеспечения. Для обсуждения вопроса о распределении новогодних премий было решено составить комиссию из 6 человек. Сколькими способами это можно сделать, если необходимо пригласить, по крайней мере, трех программистов?
Решение:
C(8, 6) + C(8, 5)C(12, 1) + C(8, 4)C(12, 2) + C(8, 3)C(12, 3) = 17640.
3 задача
В компьютерной фирме работают 11 инженеров, 15 программистов и 9 специалистов по тестированию программного обеспечения. Для решения вопроса о том, кому будут вручены новогодние премии, было решено составить комиссию из 8 человек. Сколькими способами это можно сделать, если необходимо обеспечить участие представителей каждой из этих трех групп сотрудников?
Решение:
C(35, 8 ) − (C(24, 8 ) + C(20, 8 ) + C(26, 8 )) + (C(9, 8 ) + C(15, 8 ) + C(11, 8 )) = 21 118 713.